ECUACIÓN DE CLAIRAUT Y ECUACIÓN DE LAGRANGE

Jean Baptiste Clairaut

ECUACÓN DE CLAIRAUT

Historia
La ecuación de Clairaut, llamada así por su inventor, el físico francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial de la forma:
y = xy’ + g(y’)
Donde g(x) es una función continuamente diferenciable.
El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut. Ésta fue una de las primeras ocasiones en la historia en que este tipo de solución (la solución singular) se puso de relieve.

J. L. Lagrange

ECUACIÓN DE LAGRANGE

Son de la forma y = x f(y') + g(y') donde f(y') no puede ser igual y'.
Se resuelven derivando y llamando y' = p con lo que obtenemos
p = f(p) + [x f'(p) + g'(p)]p' esta ecuación es lineal y se integra tomando x como función de p.

Ecuación de Lagrange:
y + xϕ (y')+ ψ (y’)=0.