Tópicos de Matemáticas III: marzo 2009

SERIE DE TAYLOR

En una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:
sin (x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

HOMOGÉNEAS

En la práctica, es muy difícil que nos encontremos con ecuaciones diferenciales separables. Sin embargo, hay ocasiones en las que algún tipo de sustitución transforma la ecuación diferencial no separable en una ecuación que sí es separable. Un ejemplo de este tipo de ecuaciones son las ecuaciones diferenciales homogéneas. Una ecuación diferencial se llama homogénea si puede escribirse de la forma.Vemos entonces que en este tipo de ecuaciones, dy/dx queda aislada en un lado de la ecuación, mientras que en el otro lado tenemos una expresión en la que x e y aparecen siempre en la forma y/x . Ejemplos de ecuaciones diferenciales homogéneas son:

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

Tenemos una ecuación de la forma
ay” +by’ + cy = 0
Todas las soluciones de este tipo de ecuaciones son funciones exponenciales por lo que su solución serán funciones del mismo tipo.
DEMOSTRACIÓN
Y = emx y’ = memx y” = m2emx
am2emx + bmemx + cemx
emx (am2 + bm + c) =0

m = son las raíces del polinomio

CASO I
RAICES REALES Y DIFERENTES
La solución es de la forma y(x) = C1 em1x + c2 em2x

CASO II
RAICES REALES E IGUALES
La solución es de la forma y(x) = C1 em1x + c2 Xem2x

CASO III
RAICES COMPLEJAS
La solución es de la forma y(x) = C1 eax cos bx+ c2 eax sen bx

ECUACIÓN DE RICCATI

La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria

desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano

Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.
Corresponde a una ecuación de la forma:

ECUACIÓN DE BERNOULLI

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli

son ecuaciones diferenciales ordinarias

de primer orden, formuladas por Jakob

Bernoulli y resueltas por su hermano Johann,

que se caracterizan por tener la forma:

ECUACIÓN DE CLAIRAUT Y ECUACIÓN DE LAGRANGE

Jean Baptiste Clairaut

ECUACÓN DE CLAIRAUT

Historia
La ecuación de Clairaut, llamada así por su inventor, el físico francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial de la forma:
y = xy’ + g(y’)
Donde g(x) es una función continuamente diferenciable.
El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut. Ésta fue una de las primeras ocasiones en la historia en que este tipo de solución (la solución singular) se puso de relieve.

J. L. Lagrange

ECUACIÓN DE LAGRANGE

Son de la forma y = x f(y') + g(y') donde f(y') no puede ser igual y'.
Se resuelven derivando y llamando y' = p con lo que obtenemos
p = f(p) + [x f'(p) + g'(p)]p' esta ecuación es lineal y se integra tomando x como función de p.

Ecuación de Lagrange:
y + xϕ (y')+ ψ (y’)=0.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Llamamos ecuación diferencial (E. D.) a una ecuación que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E. D. O.); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes se llama ecuación en derivadas parciales (E. D. P.).
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son

y :

mientras que:

son ecuaciones en derivadas parciales.

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

El gradiente de un campo escalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es un vector definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como:

siendo n un vector unitario y :

la derivada direccional de :

en la dirección de n, que informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:
Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

CURVAS DE NIVEL

Las curvas de nivel son el conjunto de puntos del dominio donde la función es constante, las curvas de altura constante sobre la gráfica de la función. La ecuación de las curvas de nivel viene determinada por f(x, y) = C

Para determinar, en general, la ecuación de la familia de curvas de nivel, suponemos que z es constante dentro de la ecuación: f(x, y) = z. Asignando a z diferentes valores obtendremos diferentes curvas de nivel.

FUNCIONES DE 2 Y 3 VARIABLES

Funciones de 2 variables

Dados dos subconjuntos no vacios D C R2 e I C R. Si a cada par de números reales (x, y) perteneciente al conjunto D se le pone en correspondencia, según una regla determinada f, un y sólo un elemento z de I, z = f (x, y), se dice que sobre el conjunto D se ha definido la función f con el conjunto de valores I.