Tópicos de Matemáticas III

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

El gradiente de un campo escalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es un vector definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como:

siendo n un vector unitario y :

la derivada direccional de :

en la dirección de n, que informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:
Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

CURVAS DE NIVEL

Las curvas de nivel son el conjunto de puntos del dominio donde la función es constante, las curvas de altura constante sobre la gráfica de la función. La ecuación de las curvas de nivel viene determinada por f(x, y) = C

Para determinar, en general, la ecuación de la familia de curvas de nivel, suponemos que z es constante dentro de la ecuación: f(x, y) = z. Asignando a z diferentes valores obtendremos diferentes curvas de nivel.

FUNCIONES DE 2 Y 3 VARIABLES

Funciones de 2 variables

Dados dos subconjuntos no vacios D C R2 e I C R. Si a cada par de números reales (x, y) perteneciente al conjunto D se le pone en correspondencia, según una regla determinada f, un y sólo un elemento z de I, z = f (x, y), se dice que sobre el conjunto D se ha definido la función f con el conjunto de valores I.

Funciones de 3 variables

Las funciones de tres o más variables se definen de manera análoga a como se han definido las funciones de dos variables.